Laat $(N,v)$ een coöperatief spel zijn. Bekijk de volgende verdeelregels:
- Egalitaire verdeling, $E(v)$, gedefinieerd door $E_i(v)=\frac{v(N)}{n}$, voor alle $i\in N$.
- Utopia verdeling, $U(v)$, gedefinieerd door $U_i(v)=v(N)-v(N\backslash\{i\})$, voor alle $i\in N$.
Voldoen deze regels aan symmetrie?
De Egalitaire verdeling voldoet aan symmetrie, de Utopia verdeling niet.
Beide regels voldoen aan symmetrie.
Beide verdelingen voldoen niet aan symmetrie.
De Egalitaire verdeling voldoet niet aan symmetrie, de Utopia verdeling wel.
Fout: Merk op dat iedere speler in de Egalitaire verdeling $\frac{v(N)}{n}$ krijgt.
Probeer de opgave nogmaals.
Fout: Merk op dat als $i$ en $j$ twee symmetrische spelers zijn, dan geldt $$v(N)-v((N\backslash \{i,j\})\cup \{j\})=v(N)-v((N\backslash \{i,j\})\cup \{i\}).$$
Probeer de opgave nogmaals.
Correct: Laat $i$ en $j$ twee symmetrische spelers zijn. Dan geldt
$$\begin{align*}
E_i(v) & = \frac{v(N)}{n}\\
& = E_j(v).
\end{align*}$$
De Egalitaire verdeling voldoet dus aan symmetrie.
Verder
$$\begin{align*}
U_i(v) & = v(N)-v(N\backslash \{i\})\\
& = v(N)-v((N\backslash \{i,j\})\cup \{j\})\\
& = v(N)-v((N\backslash \{i,j\})\cup \{i\})\\
& = v(N)-v(N\backslash \{j\})\\
& = U_j(v)
\end{align*}$$
De Utopia verdeling voldoet dus aan symmetrie.
Fout: Merk op dat iedere speler in de Egalitaire verdeling $\frac{v(N)}{n}$ krijgt.
Probeer de opgave nogmaals.