1. Home
  2. Voor bedrijfseconomen
  3. Hoofdstuk 5: Optimaliseren
  4. Optimaliseren functies van twee variabelen
  5. Tweede orde criterium extremum
  6. Opgave 2

Opgave 2

Bepaal alle extrema van $z(x,y)=x^2-4x+2xy+5y+y^2-\frac{1}{3}y^3+25$.
$z(5,-3)=3$ is een minimum
  • $z(5,-3)=3$ is een minimum
  • $z(-1,-3)=39$ is een minimum
$z(5,3)=75$ is een maximum
$z(0,1)=30\frac{2}{3}$ is een maximum
Bepaal alle extrema van $z(x,y)=x^2-4x+2xy+5y+y^2-\frac{1}{3}y^3+25$.
Antwoord 1 correct
Correct
Antwoord 2 optie
  • $z(5,-3)=3$ is een minimum
  • $z(-1,-3)=39$ is een minimum
Antwoord 2 correct
Fout
Antwoord 3 optie
$z(5,3)=75$ is een maximum
Antwoord 3 correct
Fout
Antwoord 4 optie
$z(0,1)=30\frac{2}{3}$ is een maximum
Antwoord 4 correct
Fout
Antwoord 1 optie
$z(5,-3)=3$ is een minimum
Antwoord 1 feedback
Correct:
  • $z'_x(x,y)=2x-4+2y$
  • $z'_y(x,y)=2x+5+2y-y^2$
Uit $z'_x(x,y)=0$ volgt $x=2-y$. Invullen in $z'_y(x,y)=0$ geeft $2(2-y)+5+2y-y^2=0$ oftewel $y^2=9$. Dus $y=3$ (met $x=2-y=-1$) of $y=-3$ (met $x=2-y=5$).
  • $z''_{xx}(x,y)=2$
  • $z''_{yy}(x,y)=2-2y$
  • $z''_{xy}(x,y)=2$
Dus $C(x,y)=2(2-2y)-2^2=-4y$. Omdat $C(-1,3)=-12<0$ is $(-1,3)$ een zadelpunt. Omdat $C(5,-3)=12>0$ en $z''_{xx}(5,-3)=3>0$ is $z(5,-3)=3$ een minimum.

Ga door.
Antwoord 2 feedback
Fout: $(-1,-3)$ is geen stationair punt.

Zie Stationair punt.
Antwoord 3 feedback
Fout: $(5,3)$ is geen stationair punt.

Zie Stationair punt.
Antwoord 4 feedback
Fout: Het feit dat $z''_{yy}(0,1)=0$ zegt niets over de stationaire punten van de functie.

Zie Tweede orde criterium extremum