Gegeven is de functie $y(x) = x^5 + 5x + 3$. Bepaal $x'(3)$.
In dit geval is er geen uitdrukking voor $x(y)$, dus zullen we $x'(3)$ moeten bepalen met behulp van de Afgeleide inverse functie. We weten dat
$$x'(y) = \dfrac{1}{y'(x(y))} \qquad \text{dus} \qquad x'(3) = \dfrac{1}{y'(x(3))}.$$
Om dit te kunnen gebruiken, zullen we dus eerst $y'(x)$ en $x(3)$ moeten bepalen. De afgeleide van $y(x) = x^5 + 5x + 3$ is
$$y'(x) = 5x^4 + 5.$$
Bedenk verder dat $x(3)$ niets anders is dan de waarde van $x$ waarvoor $y$ gelijk is aan 3, dus zullen we $y(x) = 3$ moeten oplossen:
$$
\begin{align}
3 &= x^5 + 5x + 3\\
0 &= x^5 + 5x = x(x^4 + 5)\\
x = 0 &\mbox{ or } x^4 + 5 = 0\\
&\phantom{\mbox{ or }} ~~~ x^4 = -5 \qquad \text{niet mogelijk}
\end{align}
$$
Omdat $x^4$ niet negatief kan zijn zal $x^4 = -5$ geen oplossing geven. De enige oplossing is $x(3)=0$.
We kunnen nu $x'(3)$ bepalen:
$$x'(3) = \dfrac{1}{y'(x(3))} = \dfrac{1}{y'(0)} = \dfrac{1}{5\cdot0^4 + 5} = \dfrac{1}{5}.$$
Je ziet dat we de afgeleide van $x(y)$ kunnen bepalen zonder de functie $x(y)$ zelf te kennen.
In dit geval is er geen uitdrukking voor $x(y)$, dus zullen we $x'(3)$ moeten bepalen met behulp van de Afgeleide inverse functie. We weten dat
$$x'(y) = \dfrac{1}{y'(x(y))} \qquad \text{dus} \qquad x'(3) = \dfrac{1}{y'(x(3))}.$$
Om dit te kunnen gebruiken, zullen we dus eerst $y'(x)$ en $x(3)$ moeten bepalen. De afgeleide van $y(x) = x^5 + 5x + 3$ is
$$y'(x) = 5x^4 + 5.$$
Bedenk verder dat $x(3)$ niets anders is dan de waarde van $x$ waarvoor $y$ gelijk is aan 3, dus zullen we $y(x) = 3$ moeten oplossen:
$$
\begin{align}
3 &= x^5 + 5x + 3\\
0 &= x^5 + 5x = x(x^4 + 5)\\
x = 0 &\mbox{ or } x^4 + 5 = 0\\
&\phantom{\mbox{ or }} ~~~ x^4 = -5 \qquad \text{niet mogelijk}
\end{align}
$$
Omdat $x^4$ niet negatief kan zijn zal $x^4 = -5$ geen oplossing geven. De enige oplossing is $x(3)=0$.
We kunnen nu $x'(3)$ bepalen:
$$x'(3) = \dfrac{1}{y'(x(3))} = \dfrac{1}{y'(0)} = \dfrac{1}{5\cdot0^4 + 5} = \dfrac{1}{5}.$$
Je ziet dat we de afgeleide van $x(y)$ kunnen bepalen zonder de functie $x(y)$ zelf te kennen.