Gegeven is de functie $y(x)=2x^2 + 4x - 2$, met het domein $x\leq-1$. Vind de inverse functie $x(y)$.
$x(y) = -1 + \tfrac{1}{2}\sqrt{8+2y}$.
$x(y) = -1 \pm \tfrac{1}{2}\sqrt{8+2y}$.
De inverse functie van $y(x)$ is niet te bepalen.
$x(y) = -1 - \tfrac{1}{2}\sqrt{8+2y}$.
Correct: We kunnen $y = 2x^2 + 4x - 2$ omschrijven met behulp van het discriminantencriterium ($(*)$):
$$\begin{align*}
y &= 2x^2 + 4x - 2\\
0 &= 2x^2 + 4x - 2 - y\\
x &\stackrel{(*)}{=} \dfrac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4\cdot 2\cdot (-2-y)}}{2\cdot 2} = \dfrac{-4 \pm \sqrt{16 - 8(-2-y)}}{4} = \dfrac{-4 \pm \sqrt{32 + 8y}}{4} = \dfrac{-4 \pm \sqrt{4}\sqrt{8 + 2y}}{4} \\
&= -1 \pm \tfrac{1}{2}\sqrt{8 + 2y}.
\end{align*}
$$
Omdat gegeven is dat $x\leq -1$, weten we dat de inverse functie gelijk is aan
$$ x(y) = -1 - \tfrac{1}{2}\sqrt{8+2y}.$$
Ga door.
Fout: Let goed op het domein van $y(x)$.
Zie Voorbeeld 2.
Fout: De inverse functie heeft maar één output, geen twee. Let goed op het domein van $y(x)$.
Zie Voorbeeld 2.
Fout: Dat kan wel degelijk, als je het discriminantencriterium gebruikt.
Zie Voorbeeld 2.